Biến cố và các loại xác suất
- Xác suất nằm trong [0, 1]. Biến cố là một kết cục hoặc tổ hợp kết cục; event space gồm mọi tổ hợp kết cục và cả tập rỗng. Với đồng xu: {H}, {T}, {H, T} (xác suất 100%), ∅ (xác suất 0).
- Unconditional (marginal) probability P(A); conditional probability P(A | B); joint probability P(AB).
Độc lập, xung khắc, độc lập có điều kiện
- Độc lập: P(AB) = P(A) × P(B), tương đương P(A | B) = P(A). Với n biến cố độc lập, xác suất đồng thời là tích các xác suất.
- Xung khắc: P(AB) = 0, nên P(A hoặc B) = P(A) + P(B). Tổng quát: P(A hoặc B) = P(A) + P(B) − P(AB), đúng với mọi cặp biến cố.
- Hai biến cố xung khắc có xác suất dương luôn phụ thuộc.
- Độc lập có điều kiện: P(AB | C) = P(A | C) × P(B | C). Độc lập và độc lập có điều kiện không kéo theo nhau.
Hàm xác suất rời rạc
- Cho xác suất từng kết cục; mọi P(x) ∈ [0, 1] và Σ P(x) = 1. Xác suất của một biến cố = tổng xác suất các kết cục thuộc nó. Ví dụ P(x) = x/10 trên {1, 2, 3, 4}: P(2 hoặc 4) = 60%.
Xác suất có điều kiện, toàn phần và Bayes
- P(AB) = P(A | B) × P(B); P(A | B) = P(AB) ÷ P(B).
- Quy tắc xác suất toàn phần (Bi xung khắc và đầy đủ): P(A) = Σ P(A | Bi) × P(Bi) — tổng các xác suất đồng thời.
- Bayes' rule: P(A | B) = P(B | A) × P(A) ÷ P(B); cập nhật prior P(A) thành posterior P(A | B). Mẫu số P(B) là tổng các xác suất đồng thời.
- Ví dụ: prior 60%, P(gains | tốt) 70%, P(gains | kém) 20% → P(gains) = 50%, posterior 84%.