Mean-variance framework
- Đo rủi ro bằng lợi suất kỳ vọng và độ lệch chuẩn; chỉ hợp lệ khi phân phối lợi suất là elip (đối xứng, như phân phối chuẩn).
- μP = Σ wiμi; σP = √(ΣΣ wiwjσiσjρij).
- Efficient frontier dominate mọi danh mục rủi ro khác về rủi ro, lợi suất hoặc cả hai. Có tài sản phi rủi ro: tập tối ưu là đường thẳng từ RF qua market portfolio M; người rất ngại rủi ro nằm giữa RF và M, người mạo hiểm vay để nằm bên phải M.
- Giả định: cùng μ, σ, ρ cho mọi nhà đầu tư; chỉ μ và σ quan trọng; vay được ở RF.
Phân phối lợi suất thực tế
- Phân phối chuẩn: skewness 0, kurtosis 3; 68.3% trong ± 1σ, 95% trong ± 1.96σ; z-score: z = (x − μ) ÷ σ.
- Lợi suất cổ phiếu: đỉnh nhọn hơn, đuôi dày hơn, có thể lệch → biến cố cực đoan ở cả hai chiều xảy ra nhiều hơn. Khi phân phối không đối xứng, σ không phản ánh đúng rủi ro.
VaR
- VaR = (μ − zσ) × giá trị danh mục; theo mức lỗ: (zσ − μ) × giá trị; z = 1.65 (95%), 2.33 (99%).
- VaR tăng khi mức tin cậy tăng (tăng ngày càng nhanh) và khi kỳ nắm giữ dài hơn; μ = 0 thì tăng theo √T, μ > 0 thì tăng chậm hơn và cuối cùng giảm.
- Giới hạn: phụ thuộc phân phối, mức tin cậy và kỳ nắm giữ tùy ý, không đo độ lớn tổn thất, model risk và implementation risk, có thể vi phạm subadditivity.
Coherent risk measure và ES
- Bốn tính chất: monotonicity (R1 ≥ R2 ⇒ ρ(R1) ≤ ρ(R2)), subadditivity (ρ(R1 + R2) ≤ ρ(R1) + ρ(R2)), positive homogeneity (ρ(βR) = βρ(R)), translation invariance (ρ(c + R) = ρ(R) − c). Subadditivity quan trọng nhất.
- ES (conditional VaR, expected tail loss) = lỗ trung bình khi đã vượt ngưỡng VaR; ES ≥ VaR.
- Phân phối chuẩn: ES = σ × e−z²/2 ÷ [(1 − x)√(2π)] − μ; ES ≈ 2.05σ (95%), 2.64σ (99%) khi μ = 0.
- VaR chỉ subadditive khi phân phối elip; ES luôn coherent, bề mặt rủi ro lồi, cho biết độ lớn tổn thất, giả định ít chặt hơn.