Tóm tắt Reading 16: Sample Moments — FRM1

Sample mean μ̂ = (Σ X_i) ÷ n; tổng độ lệch Σ (X_i − μ̂) luôn bằng 0.
Variance chia n: σ̂² = (1 ÷ n) Σ (X_i − μ̂)² là bản chệch; bản không chệch s² = [1 ÷ (n − 1)] Σ (X_i − μ̂)². Mặc định dùng n − 1.
Population mean μ (chia N) là duy nhất nhưng không quan sát được; μ̂ (chia n) chỉ là ước lượng. Moment mẫu thu được bằng cách thay E[·] bằng trung bình chia n.
Var(μ̂) = σ² ÷ n; standard error = σ ÷ √n.

Estimator là công thức; estimate (point estimate) là con số tính từ một mẫu.
Bias(θ̂) = E[θ̂] − θ. Sample mean không chệch; E[σ̂²] = [(n − 1) ÷ n] σ², bias = −σ² ÷ n.
Sample mean là BLUE với dữ liệu iid: phương sai nhỏ nhất trong các estimator tuyến tính không chệch (trọng số 1 ÷ n).
Consistent: khi n tăng, bias và phương sai của estimator tiến về 0. LLN cần mean hữu hạn; CLT cần mean và variance hữu hạn, không cần tổng thể chuẩn: μ̂ ≈ N(μ, σ² ÷ n) khi n ≥ 30.

Skewness = μ₃ ÷ σ³. Lệch phải: mode < median < mean; lệch trái: mean < median < mode.
Kurtosis = μ₄ ÷ σ⁴; chuẩn bằng 3; excess kurtosis = kurtosis − 3. Leptokurtic (> 3) có fat tails; platykurtic (< 3) đuôi mỏng.
Skewness âm hơn và kurtosis cao hơn hàm ý rủi ro đuôi lớn hơn.
Median: x_(n+1)/2 khi n lẻ; 0.5 × (x_n/2 + x_n/2+1) khi n chẵn. Quantile α tại vị trí α × n; IQR = Q₇₅ − Q₂₅; median và IQR vững trước outlier.

Stack hai sample mean thành vector: với dữ liệu iid, vector có phân phối chuẩn tiệm cận.
Cov(X, Y) = E(XY) − E(X)E(Y); sample covariance chia n − 1; Corr = Cov ÷ (σ_Xσ_Y) ∈ [−1, 1].
Moment bậc p có p − 1 thước đo chéo: 2 coskewness, 3 cokurtosis. Bivariate normal: coskewness = 0; k(X,X,Y,Y) = 1 + 2ρ² (nhỏ nhất 1 tại ρ = 0); k(X,X,X,Y) = 3ρ (tuyến tính từ −3 tới +3).