Tóm tắt Reading 21: Stationary Time Series — FRM1

Ba điều kiện: trung bình ổn định; phương sai hữu hạn và ổn định; autocovariance chỉ phụ thuộc lag τ, không phụ thuộc t. Độ dài chuỗi không cần hữu hạn.
γ(τ) = Cov(y_t, y_t−τ); ρ(τ) = γ(τ) ÷ γ(0), nằm trong [−1, 1]. ACF của chuỗi dừng tiến về 0 khi τ lớn.
PACF: tương quan giữa y_t và y_t−τ sau khi kiểm soát các lag ở giữa (hệ số lag τ trong hồi quy theo lag 1…τ).

White noise: trung bình 0, phương sai không đổi, không tự tương quan. Independent white noise: thêm độc lập. Gaussian white noise: thêm phân phối chuẩn. Gaussian ⊂ independent ⊂ white noise.
Sai số dự báo của mô hình tốt phải là white noise. Independent white noise không dự báo được: trung bình có điều kiện = không điều kiện.
Wold: mọi chuỗi dừng = Σ b_iε_t−i (general linear process).

AR(1): y_t = d + Φy_t−1 + ε_t; dừng khi |Φ| < 1; μ = d ÷ (1 − Φ); Var = σ²_ε ÷ (1 − Φ²); Yule-Walker ρ_τ = Φ^|τ| (giảm dần, đổi dấu nếu Φ < 0).
AR(p): μ = d ÷ (1 − Φ₁ − … − Φ_p); tổng hệ số < 1 là điều kiện cần; điều kiện đủ là mọi nghiệm phương trình đặc trưng có |r| > 1.
Dự báo AR(1): E_T(y_T+h) = μ + Φ^h(y_T − μ) → hội tụ về mean-reverting level; phương sai sai số dự báo bị chặn bởi phương sai không điều kiện.
MA(1): y_t = μ + θε_t−1 + ε_t; luôn dừng; ρ₁ = θ ÷ (1 + θ²) (|ρ₁| ≤ 0.5), ρ_τ = 0 với τ > 1. MA(q): Var = σ²_ε(1 + θ²₁ + … + θ²_q), ACF cắt sau lag q.
Lag operator: Ly_t = y_t−1, L^my_t = y_t−m, Lc = c. AR dừng khi lag polynomial nghịch đảo được; dùng trong Box-Jenkins.
ARMA(p,q): dừng khi phần AR dừng; ACF và PACF đều giảm dần.

AR: ACF giảm dần, PACF cắt sau lag p. MA: ACF cắt sau lag q, PACF giảm dần. Đỉnh định kỳ ở lag 4/12 → mùa vụ.
AIC = T ln σ̂² + 2k; BIC = T ln σ̂² + k ln T; chọn giá trị thấp nhất. BIC phạt nặng hơn → mô hình đơn giản hơn.
Dải ±1.96 ÷ √T cho từng residual autocorrelation. Q_BP = T Σ r_i²; Q_LB = T(T + 2) Σ r_i² ÷ (T − i), mẫu nhỏ dùng Ljung-Box; so với χ²_h.
Dự báo: giá trị y đã biết dùng giá trị thật, cú sốc quá khứ dùng phần dư, cú sốc tương lai bằng 0.
Mùa vụ: thêm lag 4 (quý) hoặc 12 (tháng); ký hiệu ARMA(p, q) × (p_s, q_s), p_s, q_s ∈ {0, 1}.