Tóm tắt Reading 23: Measuring Returns, Volatility, and Correlation — FRM1

Simple return R_t = (P_t − P_t−1) ÷ P_t−1; qua nhiều kỳ thì nhân các hệ số (1 + R). Log return r_t = ln P_t − ln P_t−1; qua nhiều kỳ thì cộng.
Quy đổi: 1 + R_t = exp(r_t). Simple return luôn lớn hơn hoặc bằng log return; hai con số gần nhau khi lợi suất nhỏ, lệch xa khi lợi suất lớn.
Volatility σ là độ lệch chuẩn lợi suất; variance rate là σ². Mô hình r_t = μ + σe_t.
Trung bình và phương sai tăng theo số kỳ; độ lệch chuẩn tăng theo căn số kỳ: σ_năm = √252 × σ_ngày = √12 × σ_tháng.
Implied volatility: độ biến động năm suy ngược từ giá quyền chọn bằng BSM (mọi đầu vào khác quan sát được); nhược điểm là giả định phương sai không đổi. VIX: implied volatility 30 ngày lịch của S&P 500, nhìn về tương lai, cần thị trường phái sinh thanh khoản.

Phân phối chuẩn: skewness 0, kurtosis 3, đuôi mỏng. Lợi suất tài chính: skewness khác 0 (cổ phiếu thường âm), kurtosis lớn hơn 3 → hai moment đầu không đủ mô tả rủi ro đuôi.
Jarque-Bera: H₀: S = 0 và K = 3. JB = (T − 1) × [Ŝ² ÷ 6 + (K̂ − 3)² ÷ 24] ~ χ²₂. Bác bỏ khi JB > 5.99 (5%) hoặc > 9.21 (1%). Kỳ đo dài hơn thường cho JB nhỏ hơn.
Power law: P(X > x) = k × x^−α; đuôi giảm chậm, dày hơn phân phối chuẩn (ví dụ Student's t), nhiều quan sát xa trung bình hơn.

Độc lập ⇔ f_X,Y(x, y) = f_X(x) × f_Y(y). Covariance cho biết chiều; Pearson correlation đo phụ thuộc tuyến tính. Với biến có phương sai 1, độ dốc hồi quy bằng correlation.
Correlation bằng 0 không kéo theo độc lập (Y = X²).
Spearman: Pearson trên thứ hạng; ρ̂_S = 1 − 6Σd_i² ÷ [n(n² − 1)]. Kendall: τ̂ = (n_c − n_d) ÷ [n(n − 1)/2]. Cả hai trong [−1, 1], bằng 0 khi độc lập, không đổi khi biến đổi đồng biến, ít nhạy với outlier.
Ma trận tương quan phải xác định dương. Equicorrelation: mọi ρ bằng nhau, cần −1/(n − 1) < ρ < 1. Mô hình một nhân tố: X_i = γ_iZ + √(1 − γ_i²)ε_i cho ρ_ij = γ_iγ_j.