Tóm tắt Reading 60: Binomial Trees

Cây một bước và danh mục phi rủi ro

• Hai trạng thái: giá lên S_U hoặc xuống S_D. Mua Δ cổ phiếu, bán 1 call sao cho giá trị cuối kỳ như nhau → danh mục phi rủi ro, sinh lợi bằng r → suy ra giá call.
• Không cần xác suất tăng giá thật hay mức ngại rủi ro; chỉ cần hai giá trị cuối kỳ và r (luật một giá, không arbitrage).

Risk-neutral valuation

• U = e^σ√Δt, D = 1 ÷ U; π_u = (e^rΔt − D) ÷ (U − D), π_d = 1 − π_u. Đây không phải xác suất thật.
• Giá quyền chọn = e^−rΔt × [π_uV_up + π_dV_down], lùi từng bước về hôm nay.
• σ càng lớn → U lớn, D nhỏ → S_U và S_D càng xa nhau; σ = 0 thì cây co thành đường thẳng.
• Put-call parity (châu Âu): p = c − S₀ + Xe^−rT.

Delta

• Δ = (c_U − c_D) ÷ (S_U − S_D): số cổ phiếu giữ cho mỗi call bán ra để vị thế phi rủi ro; 1 ÷ Δ = số call mua cho mỗi cổ phiếu bán khống.
• Delta call từ 0 đến 1, delta put từ −1 đến 0; delta thay đổi theo thời gian nên phải tái cân bằng.

Cây hai bước và American option

• Ba giá cuối: S₀U², S₀, S₀D²; quyền chọn châu Âu: chiết khấu kỳ vọng với xác suất π_u², 2π_uπ_d, π_d².
• American option: ở mọi nút (kể cả hôm nay) lấy max(giá trị nội tại, giá trị tiếp tục nắm giữ). American put thường có thực hiện sớm ở nút giảm sâu.
• American call trên cổ phiếu không trả cổ tức không bao giờ nên thực hiện sớm.

Điều chỉnh mô hình và hội tụ

• Cổ tức q: π_u = (e^{(r − q)Δt} − D) ÷ (U − D); chỉ số chứng khoán làm tương tự.
• Ngoại tệ: π_u = (e^{(r_DC − r_FC)Δt} − D) ÷ (U − D). Futures: π_u = (1 − D) ÷ (U − D).
• U và D không đổi trong mọi điều chỉnh.
• Tăng số bước (Δt → 0), giá cây nhị thức hội tụ về giá Black-Scholes-Merton, thường dao động quanh giá trị giới hạn.