Tóm tắt Reading 61: The Black-Scholes-Merton Model — FRM1

Phân phối ln S_T ~ N[ln S₀ + (μ − σ² ÷ 2)T, σ√T]: giá lognormal (không âm, lệch phải), lợi suất ghép liên tục phân phối chuẩn.
Khoảng tin cậy lập trên ln S_T rồi lấy e mũ; khoảng giá không đối xứng quanh S₀.
Lợi suất ghép liên tục bình quân năm: trung bình μ − σ² ÷ 2, độ lệch chuẩn σ ÷ √T (giảm khi T tăng).
E(S_T) = S₀e^μT, lớn hơn trung vị S₀e^{(μ − σ²/2)T}.

Lợi suất thực hiện: ghép lãi chuỗi, [(1 + R₁)…(1 + R_n)]^1/n − 1.
Độ biến động lịch sử: độ lệch chuẩn mẫu (chia N − 1) của u_i = ln(S_i ÷ S_i−1), năm hóa bằng √(số kỳ/năm), ví dụ √252 hay √52.
Dùng 90–180 ngày hoặc dữ liệu dài bằng kỳ dự báo; loại thay đổi giá ngày giao dịch không hưởng quyền.

Giả định: giá lognormal; r không đổi, vay/cho vay tự do; giao dịch liên tục; σ không đổi, biết trước; không ma sát; tài sản không có dòng tiền; quyền chọn châu Âu.
c₀ = S₀N(d₁) − Xe^−rTN(d₂); p₀ = Xe^−rT[1 − N(d₂)] − S₀[1 − N(d₁)].
d₁ = [ln(S₀ ÷ X) + (r + σ² ÷ 2)T] ÷ (σ√T); d₂ = d₁ − σ√T.
Put-call parity: p₀ = c₀ − S₀ + Xe^−rT.

Thay S₀ bằng S₀e^−qT (dividend yield), S₀ − ΣD_ie^−rt_i (cổ tức bằng tiền), S₀e^−r_fT (ngoại tệ), Fe^−rT (futures, Black's model). Dòng tiền làm giảm call, tăng put.
American call: chỉ có thể thực hiện sớm ngay trước ngày không hưởng quyền nếu D_n > X[1 − e^{−r(T − t_n)}]; cổ tức lớn, gần đáo hạn → dễ thực hiện sớm hơn.
American put: cổ tức lớn làm thực hiện sớm kém hấp dẫn; không thực hiện nếu D_n ≥ X[1 − e^{−r(T − t_n)}].
Warrant = [N ÷ (N + M)] × giá call; tổng chi phí = M × giá warrant; giá cổ phiếu giảm [M ÷ (N + M)] × giá call.

σ là đầu vào duy nhất không quan sát được; implied volatility là σ làm giá BSM bằng giá thị trường, tìm bằng lặp (giá BSM thấp hơn thị trường → tăng σ).
Implied volatility thay đổi theo strike (volatility smile) và theo kỳ hạn (volatility surface).